Der Hauptsatz der Analysis

Der Hauptsatz der Analysis

Dokumentation zu einem didaktischen Kolloquium an der THM 2012-12-14.

Inhalt

Differenzieren und Integrieren sind Themen, die aus der Schulmathematik zwar wohlbekannt sind - die aber dennoch nicht bei jedem Studierenden wohlige Wärmegefühle auslösen.

Unsere Vorlesungsstunde sammelt unterschiedlichstes Vorwissen - ggf. auch Fehlkognitionen - ein, stellt Zusammenhänge her, und bietet neue Interpretationen an; Beispiel:

  • Differenzieren wird oft auch als "Ableiten", "Steigung einer Kurve bestimmen" oder "Änderungsraten bestimmen" interpretiert.
  • Integrieren wird auch oft als "Aufleiten", "(Maßzahl der) Fläche unter einer Kurve bestimmen", "Bestand aus Änderungsraten rekonstruieren" interpretiert .

Sachsystematisch steht für uns der sogenannte "Hauptsatz der Analysis" (auch "Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung" genannt) im Blickfeld. Wir diskutieren, wie sich in ihm auf engste Weise Differential- und Integralrechnung ineinanderfügen.

Koordinaten:

  • Ort und Zeit: THM, 2012-12-14, 9:45-10:15
  • Zielgruppe: FH-Studierende 1. Semester in einem angewandten MINT-Fach
  • erwartetes Vorwissen: durchschnittliche, nicht aktualisierte Schulmathematik (Abitur).

Lernziel:

  • heterogenes Vorwissen der Studierenden ausgraben und verlinken
  • Lernform inverted classroom vorbereiten.
  • potentielle Mentoren und Tutoren motivieren

Technik:

Vorüberlegungen zur Vorlesung

Adressaten dieser Vorüberlegungen:

  • Studierende aus Median;

Zweck:

  • Hintergrundmaterial für die Diskussion der vorangehenden Vl

Themenwahl

Selbst gewähltes, fachlich vertiefendes Thema: "Der Hauptsatz der Analysis" (HSA). Warum dieses Thema?

  • Der HSA ist ein Theoriebestandteil in der Mathematik, er ist "wichtig".
  • Herausforderung: Man kann den HSA nicht wirklich zum "rechnen" verwenden. Das Theorie-Praxis-Problem stellt sich hier in verschärfter Weise; wenn man es hier lösen kann, kann man es auch in praxisorientierteren Themen lösen.
  • Anknüpfen an Vorwissen ist möglich und erforderlich - und damit leider auch an negtiv besetzte Bildungsbiographien. Das muss man als Didaktiker bearbeiten, vor allem angesichts der genannten Herausforderungen!
  • Das Thema HSA ist über Lehrbücher und fachdidaktisch gut erschlossen: Hier können Median-Studierende anhand der Literatur eine weit entwickelte Fachdidaktik exemplarisch kennen lernen und beurteilen.

Fachdidaktische Analyse zum Hauptsatz der Analysis

(für Lernbegleiter und Mentoren)

Eine Sachanalyse zu diesem Titel liegt vielfältig vor; siehe z.B.

zu füllende fachliche Entscheidungsspielräume

  • argumentieren wir innermathematisch, insbes. "Integral = Fläche unter der Kurve", oder argumentieren wir auf Basis eines außermathematischen Beispiels, insbes. z.B. "Weg = Zeit * Geschwindigkeit" - oder noch lebensweltnaher, insbes. mit Steigung und Höhenmetern?
  • zuerst Differenzieren, um Integrieren zu erklären - oder umgekehrt?

Auf welche "naiven" Vorstellungen von D oder I können / wollen / müssen wir zurückgreifen?

  • Integral als
    • Fläche unter einer Kurve
    • Stammfunktion
    • "Rekonstruktion eines Bestandes aus Änderungsraten in Anwendungssituationen"
  • Differential als
    • Steigung
    • Änderungsrate

Erklären wir nur Mathematik, oder erklären wir auch, warum und wie wir Mathematik erklären?

Didaktische Strukturierung der VL

Eine bekannte, aber noch selten implementierte methodische Großform exemplarisch anlegen; hier: inverted classroom. | http://wiki.zum.de/Flipped_Classroom

  • Input, der früher oft in Vorlesungen "vermittelt" wurde, wird jetzt von den Studierenden im Vorfeld einer Vorlesung anhand hochdidaktisierter Lernmedien (hier: Lehrbuch + myMathlab.com + Dozenten-Companion) selbst erarbeitet. Zeit: nicht länger, als die Vorlesung gedauert hätte.
  • Das Üben, Fragen stellen, Anwenden, Diskutieren etc., das früher als "Hausaufgabe" mehr oder weniger intensiv betrieben wurde, findet jetzt in der Vorlesung statt - die jetzt selbstverständlich methodisch ganz anders aufgebaut werden kann.

Hypothetischer Kontext: Eine einsemestrige VL "Einführung in die Analysis", 2 SWS VL + 2 SWS Übung.

  • Wir befinden uns laut Semesterplanung in den 9. VL-Woche. Stoff laut Semesterplan ist Kap 5.4 aus dem Lehrbuch George Thomas, Maurice Weir, Joel Hass: Basisbuch Analysis. Pearson 2013.
  • Grenze zwischen authentischer VL und Exemplarität: In 30 Minuten zeigen, wofür sonst 90 Minuten zur Verfügung stehen.

Selbsteinschätzung

Flipchart

  • Senkrecht: Mathe ... macht Spaß / neutral / oh jeh
  • waagrecht: Anfänger / kann schon was / Experte

gleichzeitig abholen:

  • Handout
  • Karten rot, gelb, grün

Aktivierung durch Bewegung, incl. Tafelraum als Handlungsraum erschließen

Öffentlichkeit bzgl. Leistungsstand herstellen

Dozent lernt Gruppe kennen

Semesterrückblick

Rückblick_5.4

Feedback durch Clicker oder Karten rot gelb grün:

  • Wer würde das gerne individuell erklärt bekommen?
  • Wer würde gerne Wissen weitergeben können?

auch Erinnern von und Anknüpfen an Schulwissen

öffentliches Meinungsbild: Studierende sehen, wo sie selbst im Vergleich zu den anderen stehen

Feedback an Tutoren: hier ggf. nochmal nachhaken

Input / Zusammenfassung Wochenstoff JB

GeoGebra-Applet als Experimentierfeld

ein kurzer Input vom Dozenten:

  • in Mathematik reden: Das ist der mathematische Kern (Visualisierung)
  • Über Mathematik reden: Das ist das eigentlich Interessante an dem HSA

Öffnung:

Distanz + eine Außensicht gewinnen von der konkreten Darstellung (hier: unserem Lehrbuch)

Selbstlernzeit vorstrukturieren:

Ergebnissicherung_5.4

ggf. Studierende beim Verlassen des HS:

  • Namen (Kürzel, #hashtag etc.) auf rote oder grüne ode gelbe Karte schreiben, einwerfen

angeleitete / begleitete Autodikdaktik

  • heterogene Arbeitsgruppen: rot + grün zusammenbringen
  • homogene Arbeitsgruppen für gelb

VL 5.4 HSA: wie und warum

Semesterplanung

Unser Lehrbuch: George Thomas, Maurice Weir, Joel Hass: Basisbuch Analysis. Pearson 2013.

Wochenplan:

  • KW 41 Kap. 1.1 - 1.2 Grundbegriffe
  • KW 42 Kap. 1.3 Trigonom. Funktionen
  • KW 43 Kap. 2 Grenzwerte, Stetigkeit
  • KW 44 Kap. 3.1 - 3.4 Differentation
  • KW 45 Kap. 3.5 Differentation trigonom. Funktionen
  • KW 46 Kap. 3.6 - 3.7 Kettenregel
  • KW 47 Kap. 4.1 - 4.4 Anwendungen von Ableitungen
  • KW 48 Kap. 4.7 Stammfunktionen
  • KW 49 Kap. 5.1 - 5.3 bestimmte Integrale
  • KW 50 Kap. 5.4 Hauptsatz der Analysis
  • 20.12 - 6.11. Weihnachtsferien
  • KW 2 Kap. 6 Volumen, Rotationsflächen, Bogenlängen
  • KW 3 Kap. 7.1 - 7.3 Transzendente Funktionen
  • KW 4 Kap. 8 Integrationstechniken
  • KW 5 Sack zu, Wiederholung
  • KW 6 Klausur